Упр.20.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) y=tg(x+Пи/6)+1 б) y=tg(x-2пи/3)+1/2 в) y=tg(x-Пи/2)-1 г) y=tg(x-Пи/3)-2

1. График функции $$y=\tg x$$ сдвигается:

   • влево на $$\frac{\pi}{6}$$ и вверх на $$1$$ для функции $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+1$$;
   • вправо на $$\frac{2\pi}{3}$$ и вверх на $$\frac12$$ для функции $$y=\tg\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)+\frac12$$;
   • вправо на $$\frac{\pi}{2}$$ и вниз на $$1$$ для функции $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-1$$;
   • вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и вниз на $$2$$ для функции $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2$$.

2. Центр главной ветви тангенсоиды переходит в точку $$\left(-\frac{\pi}{6};\,1\right)$$, $$\left(\frac{2\pi}{3};\,\frac12\right)$$, $$\left(\frac{\pi}{2};\,-1\right)$$, $$\left(\frac{\pi}{3};\,-2\right)$$ соответственно.

3. Вертикальные асимптоты получаем из условий, когда аргумент тангенса равен $$\frac{\pi}{2}+\pi k$$, $$k\in\mathbb Z$$:

   $$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi k \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{3}+\pi k,$$
   $$x-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k \;\Rightarrow\; x=\frac{7\pi}{6}+\pi k,$$
   $$x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k \;\Rightarrow\; x=\pi+\pi k,$$
   $$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k \;\Rightarrow\; x=\frac{5\pi}{6}+\pi k.$$

Таким образом, каждая из данных функций получается из графика $$y=\tg x$$ параллельным переносом без изменения формы ветвей.

Ответ

а) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+1$$ — сдвиг влево на $$\frac{\pi}{6}$$ и вверх на $$1$$;
б) $$y=\tg\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)+\frac12$$ — сдвиг вправо на $$\frac{2\pi}{3}$$ и вверх на $$\frac12$$;
в) $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-1$$ — сдвиг вправо на $$\frac{\pi}{2}$$ и вниз на $$1$$;
г) $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2$$ — сдвиг вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и вниз на $$2$$.