Упр.20.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дана функция у = f(x), где f(x) = tg x. Докажите, что: а) f(2x + 2Пи) + f(7Пи — 2x) = 0; б) f(Пи — x) + f(5Пи + x) = 0.

Используем периодичность и нечётность функции $$f(x)=\tg x$$:

$$\tg(x+\pi)=\tg x,\qquad \tg(-x)=-\tg x.$$

1. $$f(2x+2\pi)+f(7\pi-2x)=\tg(2x+2\pi)+\tg(7\pi-2x).$$

   Так как $$\tg(2x+2\pi)=\tg 2x$$, а

   $$\tg(7\pi-2x)=\tg(\pi-2x)=-\tg 2x,$$

   то

   $$\tg(2x+2\pi)+\tg(7\pi-2x)=\tg 2x-\tg 2x=0.$$

2. $$f(\pi-x)+f(5\pi+x)=\tg(\pi-x)+\tg(5\pi+x).$$

   Преобразуем:

   $$\tg(\pi-x)=-\tg x,\qquad \tg(5\pi+x)=\tg x.$$

   Тогда

   $$\tg(\pi-x)+\tg(5\pi+x)=-\tg x+\tg x=0.$$

Следовательно, оба равенства верны.

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$.