Упр.20.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Сколько целочисленных решений неравенства (4-x)/(x+5) > =0 удовлетворяют неравенству 1 + ctg2 Пиx/2 > = 0? б) Сколько целочисленных решений неравенства 5x + 36 > = x2 удовлетворяют неравенству 4×2 + 1 + tg2 Пиx/6 > 4x?
Решим первое неравенство:
$$\frac{4-x}{x+5}\ge 0$$
$$\frac{x-4}{x+5}\le 0$$
$$ (x+5)(x-4)\le 0 $$
$$ -5\le x\le 4 $$
Решим второе неравенство:
$$1+\ctg^2\frac{\pi x}{2}\ge 0$$
Так как $$\ctg^2\frac{\pi x}{2}\ge 0$$, то неравенство выполняется при всех $$x$$, для которых выражение определено:
$$\frac{\pi x}{2}\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x\ne 2n,\quad n\in\mathbb Z$$
Из целых чисел от $$-5$$ до $$4$$ подходят только нечётные:
$$-3,\,-1,\,1,\,3$$
Их 4.
Решим первое неравенство:
$$5x+36\ge x^2$$
$$x^2-5x-36\le 0$$
$$D=25+144=169$$
$$x_1=\frac{5-13}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{5+13}{2}=9$$
$$ (x+4)(x-9)\le 0 $$
$$ -4\le x\le 9 $$
Решим второе неравенство:
$$4x^2+1+\tg^2\frac{\pi x}{6}>4x$$
$$4x^2-4x+1+\tg^2\frac{\pi x}{6}>0$$
$$\left(2x-1\right)^2+\tg^2\frac{\pi x}{6}>0$$
Сумма квадратов положительна при всех допустимых значениях, кроме случая, когда оба слагаемых равны нулю. Но
$$\left(2x-1\right)^2=0 \Rightarrow x=\frac12,$$
а это не целое число. Значит, для целых $$x$$ второе неравенство выполняется всегда, если оно определено:
$$\frac{\pi x}{6}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x\ne 3+6n,\quad n\in\mathbb Z$$
Из целых чисел от $$-4$$ до $$9$$ исключаем $$-3,\,3,\,9$$.
Остаётся $$11$$ целых чисел.
Ответ
а) 4; б) 11.
