Упр.20.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = tgx sin2 x; б) f(x) = tg2x/x2-1′ в) f(x) = x5 tg x; г) f(x) = x2 + sinx + tg x.

Исследуем каждую функцию на чётность, используя свойства:

$$\sin(-x)=-\sin x,\qquad \tg(-x)=-\tg x,\qquad \cos(-x)=\cos x.$$

1. $$f(x)=\tg x\cdot \sin^2 x.$$

   $$f(-x)=\tg(-x)\cdot \sin^2(-x)=-\tg x\cdot (\sin x)^2=-\tg x\cdot \sin^2 x=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

2. $$f(x)=\frac{\tg^2 x}{x^2-1}.$$

   $$f(-x)=\frac{\tg^2(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{(-\tg x)^2}{x^2-1}=\frac{\tg^2 x}{x^2-1}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

3. $$f(x)=x^5\cdot \tg x.$$

   $$f(-x)=(-x)^5\cdot \tg(-x)=-x^5\cdot (-\tg x)=x^5\cdot \tg x=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

4. $$f(x)=x^2+\sin x+\tg x.$$

   $$f(-x)=(-x)^2+\sin(-x)+\tg(-x)=x^2-\sin x-\tg x.$$

   Это не равно ни $$f(x)$$, ни $$-f(x)$$, значит функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ

а) нечётная; б) чётная; в) чётная; г) ни чётная, ни нечётная.