Упр.20.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение 9×2 — 6x + 6 = (корень 5 — tg 3Пиx)(корень 5 + tg ЗПиx).

$$9x^2-6x+6=(\sqrt5-\tg 3\pi x)(\sqrt5+\tg 3\pi x)$$

Раскроем скобки справа по формуле разности квадратов:

$$9x^2-6x+6=5-\tg^2 3\pi x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$9x^2-6x+1=-\tg^2 3\pi x$$

Левая часть — полный квадрат:

$$\left(3x-1\right)^2=-\tg^2 3\pi x$$

Так как $$\left(3x-1\right)^2 \ge 0$$ и $$-\tg^2 3\pi x \le 0$$, то равенство возможно только при

$$\left(3x-1\right)^2=0,\qquad \tg^2 3\pi x=0$$

Отсюда

$$3x-1=0,\qquad \tg 3\pi x=0$$

Из первого уравнения получаем:

$$3x=1,\qquad x=\frac13$$

Проверим это значение во втором уравнении:

$$\tg\left(3\pi\cdot \frac13\right)=\tg \pi=0$$

Значит, найденное значение подходит.

Ответ

$$x=\frac13$$