Упр.20.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему неравенств: a) tgx > 0 и sinx > -1/2 б) ctgx < 1 и cosx > -корень3/3 в) tgx < корень3/3 и cosx < 0 г) ctgx > -корень 3 и sinx < корень2/2

1. $$\tg x>0$$

   Тангенс положителен в I и III четвертях:

   $$x\in\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   $$\sin x>-\frac12$$

   Значения $$\sin x=-\frac12$$ достигаются при

   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

   Тогда

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересекаем множества решений:

   $$x\in\left(2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\ctg x<1$$

   Котангенс убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\pi+\pi n\right)$$, поэтому

   $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\pi+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   $$\cos x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Равенство $$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$ выполняется при

   $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x<\frac{\sqrt3}{3}$$

   Так как $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, то

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   $$\cos x<0$$

   Это выполняется при

   $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение:

   $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\ctg x>-\sqrt3$$

   Котангенс убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\pi+\pi n\right)$$, а

   $$\ctg x=-\sqrt3 \quad \text{при} \quad x=\frac{5\pi}{6}+\pi n.$$

   Значит,

   $$x\in\left(\pi n;\frac{5\pi}{6}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   $$\sin x<\frac{\sqrt2}{2}$$

   Равенство $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$ достигается при

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

   Тогда

   $$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{9\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in\left(\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in\left(\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$