Упр.20.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) tgx < = 1; в) tgx > -корень из 3/3; б) ctgx > корень из 3; г) ctg x < = -1.

1. а) $$\tg x \le 1$$

   Функция $$y=\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, поэтому достаточно найти точку, где

   $$\tg x=1.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\ctg x>\sqrt{3}$$

   Функция $$y=\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$.

   Решим уравнение

   $$\ctg x=\sqrt{3}.$$

   Получаем

   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   Так как $$\ctg x$$ убывает, то

   $$\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\tg x>-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Функция $$y=\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$.

   Решим уравнение

   $$\tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Так как $$\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то

   $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\ctg x\le -1$$

   Функция $$y=\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$.

   Решим уравнение

   $$\ctg x=-1.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n.$$

   Так как $$\ctg x$$ убывает, получаем

   $$\frac{3\pi}{4}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$\frac{3\pi}{4}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.