Упр.20.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) у = -tg (cos x) • ctg (cos x); б) у = -2 tg (sin x) • ctg (sin x).

а) $$y=-\tg(\cos x)\cdot \ctg(\cos x)$$

Используем формулы $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}$$ и $$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}$$:

$$ y=-\frac{\sin(\cos x)}{\cos(\cos x)}\cdot \frac{\cos(\cos x)}{\sin(\cos x)}=-1. $$

Область определения: выражение имеет смысл, если

$$ \cos(\cos x)\ne 0,\qquad \sin(\cos x)\ne 0. $$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то $$\cos(\cos x)\ne 0$$ для всех $$x\in \mathbb R.$$

Условие $$\sin(\cos x)\ne 0$$ равносильно $$\cos x\ne 0,$$ значит

$$ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

Итак, график функции — горизонтальная прямая $$y=-1$$ с выколотыми точками при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

б) $$y=-2\tg(\sin x)\cdot \ctg(\sin x)$$

$$ y=-2\cdot \frac{\sin(\sin x)}{\cos(\sin x)}\cdot \frac{\cos(\sin x)}{\sin(\sin x)}=-2. $$

Область определения: выражение имеет смысл, если

$$ \cos(\sin x)\ne 0,\qquad \sin(\sin x)\ne 0. $$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то $$\cos(\sin x)\ne 0$$ для всех $$x\in \mathbb R.$$

Условие $$\sin(\sin x)\ne 0$$ равносильно $$\sin x\ne 0,$$ значит

$$ x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

Итак, график функции — горизонтальная прямая $$y=-2$$ с выколотыми точками при $$x=\pi n.$$

Ответ

а) $$y=-1,$$ $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
б) $$y=-2,$$ $$x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z.$$