Упр.20.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = sin2 (tg x) + cos2 (tg x); б) у = 3 cos2 (ctg x) + 3 sin2 (ctg x).

а) $$y=\sin^2(\tg x)+\cos^2(\tg x).$$

По тождеству $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ получаем:

$$y=1.$$

Область определения: $$\tg x$$ существует при

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Значит, график — горизонтальная прямая $$y=1$$ с выколотыми точками при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$y=3\cos^2(\ctg x)+3\sin^2(\ctg x).$$

Вынесем общий множитель:

$$y=3\bigl(\cos^2(\ctg x)+\sin^2(\ctg x)\bigr).$$

По тождеству $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ имеем:

$$y=3.$$

Область определения: $$\ctg x$$ существует при

$$x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Значит, график — горизонтальная прямая $$y=3$$ с выколотыми точками при $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$y=1,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$y=3,\quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$