Упр.20.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Исследуйте заданную функцию на монотонность: а) y=2tg(x-пи/3)+1 б) y=ctg(x+Пи/3)-2 в) y=-tg(x+Пи/4)-3 г) y=-2ctg(x-Пи/6)+1,5

Подробный ответ

а) $$y=2\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$$
Функция $$y=\tg x$$ возрастает на промежутках
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
После сдвига графика вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ получаем
$$-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\pi n,$$
то есть
$$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{5\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$y=\ctg\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2$$
Функция $$y=\ctg x$$ убывает на промежутках
$$\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
После сдвига графика влево на $$\frac{\pi}{3}$$ получаем
$$-\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(-\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$y=-\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-3$$
Функция $$y=-\tg x$$ убывает на промежутках
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
После сдвига графика влево на $$\frac{\pi}{4}$$ получаем
$$-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
то есть
$$-\frac{3\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(-\frac{3\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$y=-2\ctg\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1{,}5$$
Функция $$y=-\ctg x$$ возрастает на промежутках
$$\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
После сдвига графика вправо на $$\frac{\pi}{6}$$ получаем
$$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+\pi n.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{7\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$