Упр.20.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = 2 tg x; в) у = tg 2x; б) у = -0,5 ctg x; г) у = ctgx/2.

1. а) $$y=2\tg x$$

   График функции $$y=\tg x$$ растягиваем от оси $$Ox$$ в 2 раза. Период не изменяется:

   $$T=\pi.$$

   Основные точки: $$\left(0,0\right), \left(\frac{\pi}{4},2\right), \left(-\frac{\pi}{4},-2\right).$$

   Вертикальные асимптоты: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$y=-0{,}5\,\ctg x$$

   График функции $$y=\ctg x$$ отражаем относительно оси $$Ox$$ и сжимаем к оси $$Ox$$ в 2 раза.

   Период не изменяется:

   $$T=\pi.$$

   Основные точки: $$\left(\frac{\pi}{4},-0{,}5\right), \left(\frac{3\pi}{4},0{,}5\right).$$

   Вертикальные асимптоты: $$x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

3. в) $$y=\tg 2x$$

   График функции $$y=\tg x$$ сжимаем к оси $$Oy$$ в 2 раза. Период находим из равенства:

   $$ \tg 2(x+T)=\tg 2x \\ 2T=\pi \\ T=\frac{\pi}{2}. $$

   Основные точки: $$\left(0,0\right), \left(\frac{\pi}{8},1\right), \left(-\frac{\pi}{8},-1\right).$$

   Вертикальные асимптоты: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

4. г) $$y=\ctg\frac{x}{2}$$

   График функции $$y=\ctg x$$ растягиваем от оси $$Oy$$ в 2 раза. Период находим из равенства:

   $$ \ctg\frac{x+T}{2}=\ctg\frac{x}{2} \\ \frac{T}{2}=\pi \\ T=2\pi. $$

   Основные точки: $$\left(\frac{\pi}{2},0\right), \left(\pi,-1\right), \left(0,1\right).$$

   Вертикальные асимптоты: $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$y=2\tg x,\ T=\pi$$;
б) $$y=-0{,}5\,\ctg x,\ T=\pi$$;
в) $$y=\tg 2x,\ T=\frac{\pi}{2}$$;
г) $$y=\ctg\frac{x}{2},\ T=2\pi$$.