Упр.20.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = ctg (x+Пи/2) б) у = ctg x + 1; в) у = ctg (x — Пи/3) г) У = ctgx- 2.

1. а) $$y=\ctg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

   Это график функции $$y=\ctg x$$, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{2}$$.

   Главная ветвь имеет центр в точке $$\left(0,0\right)$$.

   Вертикальные асимптоты:

   $$x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Нули функции:

   $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$y=\ctg x+1$$

   Это график функции $$y=\ctg x$$, сдвинутый вверх на $$1$$.

   Главная ветвь имеет центр в точке $$\left(\frac{\pi}{2},1\right)$$.

   Вертикальные асимптоты:

   $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Нули функции:

   $$\ctg x+1=0 \;\Rightarrow\; \ctg x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

3. в) $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

   Это график функции $$y=\ctg x$$, сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{3}$$.

   Главная ветвь имеет центр в точке $$\left(\frac{5\pi}{6},0\right)$$.

   Вертикальные асимптоты:

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Нули функции:

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

4. г) $$y=\ctg x-2$$

   Это график функции $$y=\ctg x$$, сдвинутый вниз на $$2$$.

   Главная ветвь имеет центр в точке $$\left(\frac{\pi}{2},-2\right)$$.

   Вертикальные асимптоты:

   $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Нули функции:

   $$\ctg x-2=0 \;\Rightarrow\; \ctg x=2 \;\Rightarrow\; x=\operatorname{arctg}\frac{1}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$y=\ctg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ — сдвиг влево на $$\frac{\pi}{2}$$;
б) $$y=\ctg x+1$$ — сдвиг вверх на $$1$$;
в) $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$ — сдвиг вправо на $$\frac{\pi}{3}$$;
г) $$y=\ctg x-2$$ — сдвиг вниз на $$2$$.