Упр.20.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите графически уравнение: а) ctg x = 1; в) ctg x = -корень из 3/3; б) ctg x = корень из 3/3 г) ctg x= 0.

Рассмотрим график функции $$y=\operatorname{ctg}x$$ и проведём горизонтальную прямую, соответствующую правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков и будут решениями.

1. $$\operatorname{ctg}x=1$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{\pi}{4}$$. Период функции $$\operatorname{ctg}x$$ равен $$\pi$$, значит

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\operatorname{ctg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{\pi}{3}$$. Тогда

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\operatorname{ctg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{2\pi}{3}$$. Следовательно,

   $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\operatorname{ctg}x=0$$

   График функции $$y=\operatorname{ctg}x$$ пересекает ось абсцисс при $$x=\frac{\pi}{2}$$. Поэтому

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.