Упр.20.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений заданной функции: а) y=tgx, x принадлежит [0;Пи/2) б) y=ctgx, x принадлежит [-5Пи/6;-Пи/3) в) y=tgx, x принадлежит (3Пи/4;3Пи/2) и (3Пи/2;7Пи/4) г) y=ctgx, x принадлежит (Пи/2;Пи) и (Пи;3Пи/2)
а) $$y=\tg x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)$$
На промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$y=\tg x$$ возрастает. При $$x=0$$ имеем $$y=0$$, а при $$x\to \frac{\pi}{2}-0$$ значение $$y\to +\infty$$.
Следовательно, $$E(y)=\left[0;+\infty\right).$$
б) $$y=\ctg x,\quad x\in\left[-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{3}\right]$$
Функция $$y=\ctg x$$ на данном промежутке непрерывна. Найдём значения на концах:
$$\ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{1}{\sqrt3},$$
$$\ctg\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)}{\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12}=\sqrt3.$$Так как на промежутке функция убывает, то
$$E(y)=\left[-\frac{1}{\sqrt3};\sqrt3\right].$$
в) $$y=\tg x,\quad x\in\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}\right)$$
В точке $$x=\frac{3\pi}{2}$$ функция не определена. На каждом из промежутков функция $$y=\tg x$$ непрерывна и принимает все значения от $$-\infty$$ до $$-1$$ и от $$-1$$ до $$+\infty$$, причём
$$\tg\frac{3\pi}{4}=-1,\qquad \tg\frac{7\pi}{4}=-1.$$
Значение $$-1$$ не достигается, поэтому
$$E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
г) $$y=\ctg x,\quad x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\cup\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$
В точке $$x=\pi$$ функция не определена. На промежутке $$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ значения $$\ctg x$$ меняются от $$0$$ до $$-\infty$$, а на промежутке $$\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$ — от $$+\infty$$ до $$0$$. Значение $$0$$ не достигается.
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Ответ
а) $$[0;+\infty)$$;
б) $$\left[-\frac{1}{\sqrt3};\sqrt3\right]$$;
в) $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$;
г) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
