Упр.20.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = ctg x на заданном промежутке: а) на отрезке [Пи/4; Пи/2] б) на полуинтервале [Пи/2) в) на интервале (-Пи;0) г) на отрезке [Пи/6; 3Пи/4)

Функция $$y=\ctg x$$ на каждом промежутке, где она определена, убывает. Поэтому на отрезке наименьшее значение достигается в правом конце, а наибольшее — в левом.

1. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция непрерывна.

   $$\ctg \frac{\pi}{4}=1,$$
   $$\ctg \frac{\pi}{2}=0.$$

   Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$

2. На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ функция имеет разрыв в точке $$x=\pi,$$ а при $$x=\frac{\pi}{2}$$

   $$\ctg \frac{\pi}{2}=0.$$

   Наименьшего значения нет, наибольшее значение равно $$0.$$

3. На интервале $$(-\pi;0)$$ функция имеет разрывы в точках $$x=-\pi$$ и $$x=0.$$

   Значения функции не ограничены ни сверху, ни снизу, поэтому наименьшего и наибольшего значений нет.

4. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция непрерывна.

   $$\ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$
   $$\ctg \frac{3\pi}{4}=-1.$$

   Так как $$\ctg x$$ убывает, то $$y_{\max}=\sqrt{3},$$ $$y_{\min}=-1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1$$;
б) наименьшего значения нет, $$y_{\max}=0$$;
в) наименьшего и наибольшего значений нет;
г) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\sqrt{3}$$.