Упр.20.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = tg x на заданном промежутке: а) на интервале (Пи/2; 3Пи/2) б) на полуинтервале (3Пи/4; Пи) в) на отрезке [-Пи/4; Пи/6] г) на полуинтервале [Пи; 3Пи/2)

Функция $$y=\tg x$$ на каждом промежутке, где она определена и непрерывна, монотонно возрастает. Поэтому на отрезке или полуинтервале наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой, если соответствующая точка входит в промежуток.

1. $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$$

   На этом интервале функция имеет разрывы в точках $$x=\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\frac{3\pi}{2}$$, поэтому наименьшего и наибольшего значений нет.

2. $$\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$

   Функция непрерывна на промежутке. Найдём значения на концах:

   $$\tg \frac{3\pi}{4}=-1,$$
   $$\tg \pi=0.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=0.$$

3. $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6}\right]$$

   Функция непрерывна на отрезке. Вычислим значения на концах:

   $$\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
   $$\tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   Так как $$\tg x$$ возрастает, то $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

4. $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$

   Функция непрерывна на промежутке и возрастает. Тогда

   $$\tg \pi=0,$$
   а при $$x \to \frac{3\pi}{2}-0$$ значение функции неограниченно возрастает.

   Значит, $$y_{\min}=0,$$ наибольшего значения нет.

Ответ

а) наименьшего и наибольшего значений нет;
б) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=0;$$
в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=\frac{1}{\sqrt{3}};$$
г) $$y_{\min}=0,$$ наибольшего значения нет.