Упр.2.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько существует обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем, равным: а) 17; б) 236? Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае.

Подробный ответ

а) Знаменатель 17. Число $$17$$ — простое, поэтому с ним взаимно просты все числа от $$1$$ до $$16$$. Значит, правильных несократимых дробей со знаменателем $$17$$ будет

$$17-1=16.$$

Наибольшая из них получается при наибольшем числителе:

$$\frac{16}{17}.$$

б) Знаменатель 236. Разложим число $$236$$ на простые множители:

$$236=2^2\cdot 59.$$

Число дробей с знаменателем $$236$$ и числителем от $$1$$ до $$235$$ равно $$235$$. Исключим числители, не взаимно простые с $$236$$, то есть делящиеся на $$2$$ или на $$59$$.

Кратных $$2$$ среди чисел от $$1$$ до $$235$$:

$$\frac{235}{2}=117.$$

Кратных $$59$$:

$$\frac{235}{59}=3.$$

Но число $$118$$ кратно и $$2$$, и $$59$$, поэтому его мы вычли дважды. Тогда по формуле включений и исключений:

$$117+3-1=119.$$

Значит, чисел, взаимно простых с $$236$$, среди $$1,2,\dots,235$$ будет

$$235-119=116.$$

Наибольшая такая дробь:

$$\frac{235}{236}.$$