Упр.19.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Ha каких промежутках функция у = 3 cos (2x+2Пи/3) а) возрастает; б) убывает?

Функция $$y=3\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$$ отличается от функции $$y=\cos x$$ только растяжением по оси ординат и заменой аргумента.

Коэффициент $$3$$ на монотонность не влияет, поэтому достаточно рассмотреть, где возрастает и убывает косинус.

Известно, что функция $$y=\cos t$$:

• возрастает при $$-\pi+2\pi n \le t \le 0+2\pi n,$$
• убывает при $$0+2\pi n \le t \le \pi+2\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z$$.

Положим $$t=2x+\frac{2\pi}{3}$$.

а) Возрастает:

$$ -\pi+2\pi n \le 2x+\frac{2\pi}{3} \le 2\pi n $$
$$ -\pi-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n $$
$$ -\frac{5\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n $$
$$ -\frac{5\pi}{6}+\pi n \le x \le -\frac{\pi}{3}+\pi n $$

б) Убывает:

$$ 2\pi n \le 2x+\frac{2\pi}{3} \le \pi+2\pi n $$
$$ -\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le \pi-\frac{2\pi}{3}+2\pi n $$
$$ -\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{3}+2\pi n $$
$$ -\frac{\pi}{3}+\pi n \le x \le \frac{\pi}{6}+\pi n $$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac{5\pi}{6}+\pi n,\,-\frac{\pi}{3}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+\pi n,\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$