Упр.19.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Ha каких промежутках функция у = -1,5sin (x/2-Пи/4) а) возрастает; б) убывает?

Пусть $$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

$$y=-1{,}5\sin t.$$

Функция $$\sin t$$ возрастает на промежутках

$$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$

и убывает на промежутках

$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как перед синусом стоит отрицательный коэффициент, то для функции $$y=-1{,}5\sin t$$ промежутки возрастания и убывания меняются местами.

1) Возрастание:

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

то есть

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{4}$$ и умножим на $$2$$:

$$\frac{3\pi}{2}+4\pi n \le x \le \frac{7\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Убывание:

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{4}$$ и умножим на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{2}+4\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$y$$ возрастает при $$x\in\left[\frac{3\pi}{2}+4\pi n;\,\frac{7\pi}{2}+4\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$y$$ убывает при $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+4\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+4\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$