Упр.19.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Подберите коэффициенты а, b и с так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = а sin (bx + с : а) рис. 62; б) рис. 63.

а) По графику видно, что одна полуволна синусоиды имеет максимальную ординату $$2,$$ значит $$a=2.$$

Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$x_1=-\frac{\pi}{12}$$ и $$x_2=\frac{5\pi}{12}.$$ Расстояние между ними равно

$$ x_2-x_1=\frac{5\pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{6\pi}{12}=\frac{\pi}{2}. $$

Для функции $$y=a\sin(bx+c)$$ расстояние между соседними нулями равно $$\frac{\pi}{b},$$ поэтому

$$ \frac{\pi}{b}=\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \quad b=2. $$

Подставим точку $$x=-\frac{\pi}{12}$$ в аргумент синуса: в этой точке он равен нулю, значит

$$ 2x+c=0,\qquad 2\left(-\frac{\pi}{12}\right)+c=0, $$

откуда

$$ c=\frac{\pi}{6}. $$

Следовательно,

$$ y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right). $$

б) По графику максимальная ордината равна $$1{,}5,$$ значит

$$ a=-1{,}5=-\frac{3}{2}. $$

Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$x_1=\frac{\pi}{2}$$ и $$x_2=\frac{5\pi}{2}.$$ Тогда

$$ x_2-x_1=\frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=2\pi. $$

Значит,

$$ \frac{\pi}{b}=2\pi \quad \Rightarrow \quad b=\frac12. $$

Возьмём точку пересечения с осью $$Ox$$: при $$x=\frac{\pi}{2}$$ аргумент синуса равен нулю, поэтому

$$ \frac12 x+c=0,\qquad \frac12\cdot \frac{\pi}{2}+c=0, $$

откуда

$$ c=-\frac{\pi}{4}. $$

Итак,

$$ y=-\frac{3}{2}\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right). $$

Ответ

а) $$y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right);$$ б) $$y=-\frac{3}{2}\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$