Упр.19.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Введём новую переменную:
$$t=3x-\frac{\pi}{2}.$$
Тогда функция принимает вид $$y=-3\cos t.$$
Функция $$y=-\cos t$$ возрастает на промежутках
$$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z.$$
Значит, функция $$y=-3\cos t$$ возрастает на тех же промежутках по переменной $$t$$. Переходим к $$x$$:
$$-\pi+2\pi n \le 3x-\frac{\pi}{2} \le 2\pi n.$$
Решаем неравенство:
$$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 3x \le \frac{\pi}{2}+2\pi n $$
$$ -\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3} \le x \le \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}. $$
То есть функция возрастает на отрезке
$$\left[-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\right].$$
а) Требуется, чтобы
$$\left[a;\,2a\right]=\left[-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\right].$$
Тогда
$$a=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}, \qquad 2a=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$
Вычтем первое равенство из второго:
$$a=\frac{\pi}{3}.$$
Проверим: при $$a=\frac{\pi}{3}$$ имеем $$2a=\frac{2\pi}{3}$$, и отрезок действительно совпадает с одним из промежутков возрастания. Следовательно,
$$\frac{\pi}{6}\le a\le \frac{\pi}{4}.$$
б) Функция убывает на отрезке
$$\left[a;\,a+\frac{\pi}{3}\right].$$
Для функции $$y=-\cos t$$ промежутки убывания имеют вид
$$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$ 2\pi n \le 3x-\frac{\pi}{2} \le \pi+2\pi n. $$
Переходим к $$x$$:
$$ -\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3} \le x \le \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}. $$
Чтобы отрезок $$\left[a;\,a+\frac{\pi}{3}\right]$$ целиком лежал в таком промежутке убывания, нужно
$$a=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$
При положительных значениях $$a$$ получаем
$$a=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb N.$$
Ответ
а) $$\frac{\pi}{6}\le a\le \frac{\pi}{4}$$; б) $$a=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}, \; n\in\mathbb N.$$
