Упр.19.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Введём новую переменную:

$$t=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}.$$

Тогда функция имеет вид $$y=2\sin t.$$

Функция $$\sin t$$ возрастает на промежутках

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

и убывает на промежутках

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

а) Функция возрастает на промежутке $$\left(a-\frac{2\pi}{3};\,a+\frac{2\pi}{3}\right).$$

Значит, должны выполняться неравенства

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Решим их относительно $$x$$:

$$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$

Чтобы отрезок $$\left(a-\frac{2\pi}{3};\,a+\frac{2\pi}{3}\right)$$ целиком лежал внутри такого промежутка, нужно

$$a-\frac{2\pi}{3}\ge -\frac{4\pi}{3}+4\pi n,$$

$$a+\frac{2\pi}{3}\le \frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$

Отсюда

$$a\ge -\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\qquad a\le 4\pi n.$$

Следовательно,

$$-\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le a \le 4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Функция убывает на отрезке $$\left[a;\,a+\frac{\pi}{2}\right].$$

Тогда

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

Решаем относительно $$x$$:

$$\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le x \le \frac{8\pi}{3}+4\pi n.$$

Чтобы отрезок $$\left[a;\,a+\frac{\pi}{2}\right]$$ целиком лежал внутри этого промежутка, нужно

$$a\ge \frac{2\pi}{3}+4\pi n,$$

$$a+\frac{\pi}{2}\le \frac{8\pi}{3}+4\pi n.$$

Отсюда

$$a\le \frac{13\pi}{6}+4\pi n.$$

Значит,

$$\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le a \le \frac{13\pi}{6}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le a \le 4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{2\pi}{3}+4\pi n \le a \le \frac{13\pi}{6}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$