Упр.19.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
Рассмотрим функцию $$y=3\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right).$$
Функция $$y=\cos t$$ возрастает на промежутках $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$ и убывает на промежутках $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, где $$n\in\mathbb Z.$$
Положим $$t=2x+\frac{2\pi}{3}.$$ Тогда:
1) для возрастания:
$$ -\pi+2\pi n \le 2x+\frac{2\pi}{3} \le 2\pi n $$
$$ -\pi-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n $$
$$ -\frac{5\pi}{6}+\pi n \le x \le -\frac{\pi}{3}+\pi n $$
2) для убывания:
$$ 2\pi n \le 2x+\frac{2\pi}{3} \le \pi+2\pi n $$
$$ -\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le \pi-\frac{2\pi}{3}+2\pi n $$
$$ -\frac{\pi}{3}+\pi n \le x \le \frac{\pi}{6}+\pi n $$
Теперь рассмотрим заданные промежутки.
а) $$\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$$
На этом промежутке функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$ и убывает на $$\left[0;\frac{\pi}{6}\right].$$
б) $$(1;2)$$
Так как $$\frac{\pi}{6}<1<2<\frac{2\pi}{3},$$ то весь промежуток лежит в области возрастания.
Функция возрастает на $$(1;2).$$
в) $$\left[-\frac{7\pi}{12};0\right]$$
На этом промежутке функция возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{12};-\frac{\pi}{3}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{3};0\right].$$
г) $$(-1;1)$$
Так как $$-\frac{\pi}{3}<-1<\frac{\pi}{6}<1<\frac{2\pi}{3},$$ то функция убывает на $$(-1;\frac{\pi}{6}]$$ и возрастает на $$[\frac{\pi}{6};1).$$
Ответ
а) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$, убывает на $$\left[0;\frac{\pi}{6}\right]$$;
б) возрастает на $$(1;2)$$;
в) возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{12};-\frac{\pi}{3}\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{3};0\right]$$;
г) убывает на $$\left(-1;\frac{\pi}{6}\right]$$, возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};1\right).$$
