Упр.19.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим функцию $$y=-1{,}5\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$

Для функции $$y=-\sin t$$ известно:

• она возрастает при $$t\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],$$
• убывает при $$t\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$

где $$n\in\mathbb{Z}.$$

Положим

$$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}.$$

Тогда:

• возрастание соответствует неравенству

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{3\pi}{2}+4\pi n\le x\le \frac{7\pi}{2}+4\pi n;$$

• убывание соответствует неравенству

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{2}+4\pi n\le x\le \frac{3\pi}{2}+4\pi n.$$

Теперь рассмотрим заданные промежутки.

1. $$[0;2\pi]$$

   На этом промежутке функция убывает на $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right].$$

2. $$\left(2;4\right)$$

   Так как $$-\frac{\pi}{2}<2<4<\frac{3\pi}{2},$$ то функция убывает на $$\left(2;4\right).$$

3. $$\left[-\frac{4\pi}{3};0\right]$$

   На этом промежутке функция возрастает на $$\left[-\frac{4\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right].$$

4. $$(-1;2)$$

   Так как $$-\frac{\pi}{2}<-1<2<\frac{3\pi}{2},$$ то функция убывает на $$(-1;2).$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$$ и убывает на $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$;

б) убывает на $$\left(2;4\right)$$;

в) возрастает на $$\left[-\frac{4\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$;

г) убывает на $$(-1;2).$$