Упр.18.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right]$$ рассмотрим функцию $$y=\sin 2x.$$
При $$x\in\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right]$$ аргумент $$2x$$ пробегает отрезок $$\left[-\pi;\,0\right].$$
На этом промежутке функция $$\sin t$$ сначала убывает на $$\left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right],$$ затем возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right].$$
Проверим значения в концах и в точке минимума:
$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(-\pi)=0,$$
$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$
$$y(0)=\sin 0=0.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$0,$$ наименьшее — $$-1.$$
б) На интервале $$\left(-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$2x\in\left(-\frac{\pi}{2};\,\pi\right).$$
На этом промежутке функция $$\sin t$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1,$$ причём значение $$1$$ достигается при $$t=\frac{\pi}{2}$$, то есть при $$x=\frac{\pi}{4}\in\left(-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{2}\right).$$
Значение $$-1$$ достигается при $$t=-\frac{\pi}{2},$$ то есть при $$x=-\frac{\pi}{4},$$ но эта точка не входит в интервал.
Значит, наименьшего значения нет, а наибольшее значение равно $$1.$$
в) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{4}\right]$$ имеем $$2x\in\left[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right].$$
Функция $$\sin t$$ на этом промежутке возрастает, поэтому
$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$
$$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$
г) На полуинтервале $$\left(0;\,\pi\right]$$ аргумент $$2x$$ пробегает промежуток $$\left(0;\,2\pi\right].$$
За этот промежуток функция $$\sin t$$ принимает и значение $$-1,$$ и значение $$1.$$
Значит, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$