Упр.18.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Ha каких промежутках функция у = 1,5cos 3x/2: а) возрастает; б) убывает?

Рассмотрим функцию $$y=1{,}5\cos \frac{3x}{2}.$$

Множитель $$1{,}5$$ на монотонность не влияет, поэтому достаточно учесть поведение функции $$\cos t$$ при замене $$t=\frac{3x}{2}.$$

Функция $$\cos t$$:

• возрастает при $$t \in [\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n],\ n\in\mathbb Z;$$
• убывает при $$t \in [0+2\pi n;\,\pi+2\pi n],\ n\in\mathbb Z.$$

Подставим $$t=\frac{3x}{2}$$ и решим неравенства относительно $$x$$.

а) Функция возрастает:

$$ \pi+2\pi n \le \frac{3x}{2} \le 2\pi+2\pi n $$
$$ \frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

б) Функция убывает:

$$ 2\pi n \le \frac{3x}{2} \le \pi+2\pi n $$
$$ \frac{4\pi n}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

$$\text{а) } x \in \left[\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3};\,\frac{4\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right],\ n\in\mathbb Z.$$

$$\text{б) } x \in \left[\frac{4\pi n}{3};\,\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right],\ n\in\mathbb Z.$$