Упр.18.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Ha каких промежутках функция у = -0,5 sin 2x/3: а) возрастает; б) убывает?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=-0{,}5\sin\frac{2x}{3}.$$

Множитель $$-0{,}5$$ меняет знак монотонности функции $$\sin\frac{2x}{3}$$ на противоположный, а аргумент $$\frac{2x}{3}$$ растягивает промежутки в $$\frac{3}{2}$$ раза.

Известно, что функция $$y=-\sin t$$ возрастает при

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и убывает при

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Положим $$t=\frac{2x}{3}.$$ Тогда:

1) для возрастания

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{2x}{3} \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

умножим все части неравенства на $$\frac{3}{2}$$:

$$\frac{3\pi}{4}+3\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) для убывания

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le \frac{2x}{3} \le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

умножим все части неравенства на $$\frac{3}{2}$$: