Упр.18.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Функция $$y=-2\cos\frac{x}{2}$$ получается из графика $$y=\cos x$$ заменой $$x\to \frac{x}{2}$$ и умножением значений функции на $$-2$$.

Если $$y=\cos x$$ возрастает на промежутке $$[a;b]$$, то функция $$y=-\cos x$$ убывает на $$[a;b]$$, а при замене $$x\to \frac{x}{2}$$ все границы промежутков умножаются на $$2$$.

1. а) $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$

   Для $$y=\cos x$$ на этом промежутке:

   $$\cos x \text{ убывает на } \left[0;\pi\right], \text{ возрастает на } \left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right].$$

   Тогда для $$y=-\cos x$$:

   $$-\cos x \text{ возрастает на } \left[0;\pi\right], \text{ убывает на } \left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right].$$

   После замены $$x\to \frac{x}{2}$$ получаем:

   $$y=-2\cos\frac{x}{2} \text{ возрастает на } \left[0;2\pi\right], \text{ убывает на } \left[2\pi;5\pi\right].$$

2. б) $$(-3;2)$$

   Для $$y=\cos x$$:

   $$\cos x \text{ убывает на } [0;1], \text{ возрастает на } (-1{,}5;0].$$

   Тогда для $$y=-\cos x$$:

   $$-\cos x \text{ возрастает на } [0;1], \text{ убывает на } (-1{,}5;0].$$

   После замены $$x\to \frac{x}{2}$$:

   $$y=-2\cos\frac{x}{2} \text{ возрастает на } [0;2], \text{ убывает на } (-3;0].$$

3. в) $$\left(-\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right)$$

   Для $$y=\cos x$$:

   $$\cos x \text{ возрастает на } \left(-\frac{\pi}{3};0\right], \text{ убывает на } \left[0;\frac{5\pi}{6}\right).$$

   Тогда для $$y=-\cos x$$:

   $$-\cos x \text{ убывает на } \left(-\frac{\pi}{3};0\right], \text{ возрастает на } \left[0;\frac{5\pi}{6}\right).$$

   После замены $$x\to \frac{x}{2}$$:

   $$y=-2\cos\frac{x}{2} \text{ убывает на } \left(-\frac{2\pi}{3};0\right], \text{ возрастает на } \left[0;\frac{5\pi}{3}\right).$$

4. г) $$\left(3;9\right)$$

   Для $$y=\cos x$$:

   $$\cos x \text{ возрастает на } \left[\pi;4{,}5\right), \text{ убывает на } \left(1{,}5;\pi\right].$$

   Тогда для $$y=-\cos x$$:

   $$-\cos x \text{ убывает на } \left[\pi;4{,}5\right), \text{ возрастает на } \left(1{,}5;\pi\right].$$

   После замены $$x\to \frac{x}{2}$$:

   $$y=-2\cos\frac{x}{2} \text{ убывает на } \left[2\pi;9\right), \text{ возрастает на } \left(3;2\pi\right].$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[0;2\pi\right]$$, убывает на $$\left[2\pi;5\pi\right]$$;

б) возрастает на $$[0;2]$$, убывает на $$(-3;0]$$;

в) убывает на $$\left(-\frac{2\pi}{3};0\right]$$, возрастает на $$\left[0;\frac{5\pi}{3}\right)$$;

г) возрастает на $$\left(3;2\pi\right]$$, убывает на $$\left[2\pi;9\right)$$.