Упр.18.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Рассмотрим функцию $$y=2\sin 3x.$$

Функция $$\sin t$$ возрастает на промежутках $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right]$$ и убывает на промежутках $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right]$$, где $$k\in\mathbb{Z}.$$

Для функции $$y=2\sin 3x$$ нужно заменить $$t=3x$$. Тогда промежутки монотонности по переменной $$x$$ получаем делением границ на $$3$$.

1. $$[0;\,\frac{\pi}{2}]$$

   На этом промежутке $$3x\in\left[0;\,\frac{3\pi}{2}\right].$$

   Следовательно, $$y=2\sin 3x$$ возрастает на $$\left[0;\,\frac{\pi}{6}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{6};\,\frac{\pi}{2}\right].$$

2. $$(-1;\,0)$$

   Здесь $$3x\in(-3;\,0).$$ На этом промежутке функция $$\sin t$$ возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right]$$ и убывает на $$\left(-3;\,-\frac{\pi}{2}\right).$$

   Значит, $$y=2\sin 3x$$ возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{6};\,0\right]$$ и убывает на $$\left(-1;\,-\frac{\pi}{6}\right).$$

3. $$\left(\frac{2\pi}{3};\,\frac{5\pi}{3}\right)$$

   Здесь $$3x\in(2\pi;\,5\pi).$$

   Функция $$\sin t$$ возрастает на $$\left(2\pi;\,\frac{5\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{7\pi}{2};\,\frac{9\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{5\pi}{2};\,\frac{7\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{9\pi}{2};\,5\pi\right).$$

   Тогда $$y=2\sin 3x$$ возрастает на $$\left(\frac{2\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{7\pi}{6};\,\frac{3\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{5\pi}{6};\,\frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2};\,\frac{5\pi}{3}\right).$$

4. $$\left(3;\,4\right)$$

   Здесь $$3x\in(9;\,12).$$

   Функция $$\sin t$$ возрастает на $$\left[\frac{7\pi}{2};\,4\pi\right)$$ и убывает на $$\left(3\pi;\,\frac{7\pi}{2}\right].$$

   Следовательно, $$y=2\sin 3x$$ возрастает на $$\left[\frac{7\pi}{6};\,4\right)$$ и убывает на $$\left(3;\,\frac{7\pi}{6}\right].$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[0;\,\frac{\pi}{6}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{6};\,\frac{\pi}{2}\right]$$;
б) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{6};\,0\right]$$, убывает на $$\left(-1;\,-\frac{\pi}{6}\right)$$;
в) возрастает на $$\left(\frac{2\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{7\pi}{6};\,\frac{3\pi}{2}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{5\pi}{6};\,\frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2};\,\frac{5\pi}{3}\right]$$;
г) возрастает на $$\left[\frac{7\pi}{6};\,4\right)$$, убывает на $$\left(3;\,\frac{7\pi}{6}\right].$$