Упр.18.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному: а) на рис. 58; в) рис. 60; б) на рис. 59; г) рис. 61.

1. а) На луче $$(-\infty;0]$$ график — прямая вида $$y=kx+b$$. Она проходит через точки $$(-1;1)$$ и $$ (0;0)$$, значит $$b=0$$ и

   $$1=k\cdot(-1), \quad k=-1.$$

   Следовательно, $$y=-x$$ при $$x\le 0$$.

   На луче $$[0;+\infty)$$ изображена дуга синусоиды вида $$y=a\sin(kx+b)+c$$. Центр симметрии в точке $$ (0;0)$$, значит $$b=0$$, $$c=0$$, то есть $$y=a\sin kx$$. Вершина находится в точке $$\left(\frac{\pi}{4};1\right)$$, поэтому $$a=1$$ и

   $$k\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}, \quad k=2.$$

   Значит, $$y=\sin 2x$$ при $$x>0$$.

2. б) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right]$$ изображена дуга синусоиды вида $$y=a\cos(kx+b)+c$$. Вершина в точке $$ (0;1)$$, значит $$a=1$$, $$b=0$$, $$c=0$$, то есть $$y=\cos kx$$.

   График пересекает ось $$Ox$$ в точке $$\left(\frac{\pi}{6};0\right)$$, следовательно,

   $$k\cdot \frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, \quad k=3.$$

   На луче $$\left[\frac{\pi}{3};+\infty\right)$$ изображена прямая $$y=-1$$.

3. в) На луче $$(-\infty;0]$$ график — дуга синусоиды вида $$y=a\sin(kx+b)+c$$. Центр симметрии в точке $$ (0;0)$$, значит $$b=0$$, $$c=0$$, то есть $$y=a\sin kx$$. Вершина в точке $$\left(-\frac{\pi}{4};-1\right)$$, поэтому $$a=1$$ и

   $$k\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}, \quad k=2.$$

   Следовательно, $$y=\sin 2x$$ при $$x<0$$.

   На луче $$[0;+\infty)$$ график — дуга косинусоиды вида $$y=a\cos(kx+b)+c$$. Вершина в точке $$ (0;2)$$, значит $$a=2$$, $$b=0$$, $$c=0$$, то есть $$y=2\cos kx$$. График пересекает ось $$Ox$$ в точке $$\left(\frac{\pi}{2};0\right)$$, поэтому

   $$k\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}, \quad k=1.$$

   Значит, $$y=2\cos x$$ при $$x>0$$.

4. г) На луче $$(-\infty;0]$$ изображена дуга синусоиды вида $$y=a\sin(kx+b)+c$$. Центр симметрии в точке $$ (0;0)$$, значит $$b=0$$, $$c=0$$, то есть $$y=a\sin kx$$. Вершина в точке $$\left(-\frac{\pi}{2};2\right)$$, поэтому $$a=-2$$ и

   $$k\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}, \quad k=1.$$

   Следовательно, $$y=-2\sin x$$ при $$-2\pi\le x\le 0$$.

   На луче $$[0;+\infty)$$ изображена дуга косинусоиды вида $$y=a\cos(kx+b)+c$$. Вершина в точке $$ (0;1)$$, значит $$a=1$$, $$b=0$$, $$c=0$$, то есть $$y=\cos kx$$. График пересекает ось $$Ox$$ в точке $$(\pi;0)$$, поэтому

   $$k\cdot \pi=\frac{\pi}{2}, \quad k=\frac12.$$

   Значит, $$y=\cos \frac{x}{2}$$ при $$x>0$$.

Ответ

а) $$y=\begin{cases}-x, & x\le 0,\\ \sin 2x, & x>0;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}\cos 3x, & -\frac{\pi}{6}\le x\le \frac{\pi}{3},\\ -1, & x>\frac{\pi}{3};\end{cases}$$
в) $$y=\begin{cases}\sin 2x, & x<0,\\ 2\cos x, & x>0;\end{cases}$$
г) $$y=\begin{cases}-2\sin x, & -2\pi\le x\le 0,\\ \cos \frac{x}{2}, & x>0.\end{cases}$$