Упр.17.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$y=2\cos x$$ сначала возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$, затем убывает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

   Вычислим значения на концах и в точке экстремума:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$
   $$y(0)=2\cos 0=2,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$2$$, наименьшее — $$0$$.

2. б) На интервале $$\left(0;\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция убывает на $$\left(0;\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$.

   Проверим характерные точки:

   $$y(0)=2\cos 0=2,$$
   $$y(\pi)=2\cos\pi=-2,$$
   $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$

   Наименьшее значение на интервале равно $$-2$$, а наибольшего значения нет, так как точка $$0$$ не входит в интервал, хотя значения функции сколь угодно близки к $$2$$.

3. в) На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция убывает на $$\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$.

   Вычислим значения:

   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}=1,$$
   $$y(\pi)=2\cos\pi=-2,$$
   $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$

   Значит, наименьшее значение равно $$-2$$, наибольшее — $$1$$.

4. г) На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right]$$ функция убывает на $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{4}\right]$$.

   Найдём значения в концах и в точке $$x=-\pi$$:

   $$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0,$$
   $$y(-\pi)=2\cos(-\pi)=2\cos\pi=-2,$$
   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}.$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$-2$$, наибольшее — $$\sqrt{2}$$.

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=2$$;

б) $$y_{\min}=-2,\; y_{\max}$$ не существует;

в) $$y_{\min}=-2,\; y_{\max}=1$$;

г) $$y_{\min}=-2,\; y_{\max}=\sqrt{2}$$.