Упр.17.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим функцию

$$y=\cos x+\cos \frac{x-|x|}{2}+|\cos x|.$$

Разберём по случаям.

1) Если $$x\ge 0$$ и $$\cos x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ $$|\cos x|=\cos x,$$ поэтому

$$y=\cos x+\cos \frac{x-x}{2}+\cos x=2\cos x+\cos 0=2\cos x+1.$$

2) Если $$x\ge 0$$ и $$\cos x<0,$$ то $$|x|=x,$$ $$|\cos x|=-\cos x,$$ значит

$$y=\cos x+\cos \frac{x-x}{2}-\cos x=\cos 0=1.$$

3) Если $$x<0$$ и $$\cos x\ge 0,$$ то $$|x|=-x,$$ $$|\cos x|=\cos x,$$ поэтому

$$y=\cos x+\cos \frac{x-(-x)}{2}+\cos x=2\cos x+\cos x=3\cos x.$$

4) Если $$x<0$$ и $$\cos x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ $$|\cos x|=-\cos x,$$ значит

$$y=\cos x+\cos \frac{x-(-x)}{2}-\cos x=\cos x.$$

Итак,

$$ y= \begin{cases} 2\cos x+1, & x\ge 0,\ \cos x\ge 0,\\ 1, & x\ge 0,\ \cos x<0,\\ 3\cos x, & x<0,\ \cos x\ge 0,\\ \cos x, & x<0,\ \cos x<0. \end{cases} $$

По этим формулам строится график: на участках, где $$x\ge 0,$$ получаем либо график $$y=2\cos x+1,$$ либо горизонтальную прямую $$y=1,$$ а при $$x<0$$ — графики $$y=3\cos x$$ и $$y=\cos x.$$

Ответ

$$ y= \begin{cases} 2\cos x+1, & x\ge 0,\ \cos x\ge 0,\\ 1, & x\ge 0,\ \cos x<0,\\ 3\cos x, & x<0,\ \cos x\ge 0,\\ \cos x, & x<0,\ \cos x<0. \end{cases} $$