Упр.17.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) у = sin x + sin|x| + |sin x|; б) у = cos x + cos|x| — |cos х|.

а) $$y=\sin x+\sin|x|+|\sin x|.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому

   $$ y=\sin x+\sin x+|\sin x|. $$

   Если $$\sin x\ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и тогда

   $$y=3\sin x.$$

   Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и тогда

   $$y=\sin x+\sin x-\sin x=\sin x.$$

2. Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ поэтому

   $$ y=\sin x+\sin(-x)+|\sin x|. $$

   Так как $$\sin(-x)=-\sin x,$$ получаем

   $$y=|\sin x|.$$

   Если $$\sin x\ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ значит

   $$y=\sin x.$$

   Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ значит

   $$y=-\sin x.$$

Итак,

$$ y= \begin{cases} 3\sin x, & x\ge 0,\ \sin x\ge 0,\\ \sin x, & x\ge 0,\ \sin x<0,\\ \sin x, & x<0,\ \sin x\ge 0,\\ -\sin x, & x<0,\ \sin x<0. \end{cases} $$

График строится по частям: при $$x\ge 0$$ он совпадает с графиком $$y=3\sin x$$ на участках, где $$\sin x\ge 0,$$ и с графиком $$y=\sin x$$ на участках, где $$\sin x<0$$; при $$x<0$$ — с графиком $$y=\sin x$$ при $$\sin x\ge 0$$ и с графиком $$y=-\sin x$$ при $$\sin x<0.$$

б) $$y=\cos x+\cos|x|-|\cos x|.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому

   $$y=\cos x+\cos x-|\cos x|.$$

   Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и тогда

   $$y=\cos x.$$

   Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

   $$y=3\cos x.$$

2. Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ поэтому

   $$ y=\cos x+\cos(-x)-|\cos x|. $$

   Так как $$\cos(-x)=\cos x,$$ получаем

   $$y=2\cos x-|\cos x|.$$

   Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ значит

   $$y=\cos x.$$

   Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ значит

   $$y=3\cos x.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} \cos x, & x\ge 0,\ \cos x\ge 0,\\ 3\cos x, & x\ge 0,\ \cos x<0,\\ \cos x, & x<0,\ \cos x\ge 0,\\ 3\cos x, & x<0,\ \cos x<0. \end{cases} $$

График также строится по частям: на участках, где $$\cos x\ge 0,$$ он совпадает с графиком $$y=\cos x,$$ а где $$\cos x<0,$$ — с графиком $$y=3\cos x.$$

Ответ

а)
$$ y= \begin{cases} 3\sin x, & x\ge 0,\ \sin x\ge 0,\\ \sin x, & x\ge 0,\ \sin x<0,\\ \sin x, & x<0,\ \sin x\ge 0,\\ -\sin x, & x<0,\ \sin x<0; \end{cases} $$

б)
$$ y= \begin{cases} \cos x, & x\ge 0,\ \cos x\ge 0,\\ 3\cos x, & x\ge 0,\ \cos x<0,\\ \cos x, & x<0,\ \cos x\ge 0,\\ 3\cos x, & x<0,\ \cos x<0. \end{cases} $$