Упр.17.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} 3\sin x, & x<\dfrac{\pi}{2},\\ 3x^3, & x\ge \dfrac{\pi}{2}. \end{cases} $$

При $x=\dfrac{\pi}{2}$ левая часть даёт

$$ y=3\sin \dfrac{\pi}{2}=3. $$

Правая часть в этой точке:

$$ y=3\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^3=\dfrac{3\pi^3}{8}\approx 11{,}6. $$

Значит, в точке $x=\dfrac{\pi}{2}$ на графике есть разрыв: слева — точка $(\dfrac{\pi}{2};3)$, справа — точка $(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi^3}{8})$.

Для построения удобно взять несколько опорных точек:

$$ 3\sin x:\quad \left(-\dfrac{\pi}{2};-3\right),\ (0;0),\ \left(\dfrac{\pi}{2};3\right) $$

$$ 3x^3:\quad \left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi^3}{8}\right),\ \left(\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{8\pi^3}{9}\right) $$

Свойства функции:

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[-3;+\infty). $$

Функция возрастает на

$$ \left[-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2};+\infty\right),\quad n\in\mathbb Z, $$

убывает на

$$ \left[-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z. $$

Знаки функции:

$$ f(x)>0 \text{ при } x\in(-2\pi-2\pi n;\,-\pi-2\pi n)\cup(0;+\infty), $$

$$ f(x)<0 \text{ при } x\in(-\pi-2\pi n;\,-2\pi n),\quad n\in\mathbb Z. $$

Функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.

б) Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} -2\cos x, & x<0,\\ \dfrac12 x^4, & x\ge 0. \end{cases} $$

При $x=0$ левая часть даёт

$$ y=-2\cos 0=-2, $$

а правая часть:

$$ y=\dfrac12\cdot 0^4=0. $$

Значит, в точке $x=0$ также есть разрыв: слева точка $(0;-2)$, справа точка $(0;0)$.

Для построения удобно взять опорные точки:

$$ -2\cos x:\quad \left(-\pi;-2\right),\ \left(-\dfrac{\pi}{2};0\right),\ (0;-2) $$

$$ \dfrac12 x^4:\quad (0;0),\ (1;0{,}5),\ (2;8) $$

Свойства функции:

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[-2;+\infty). $$

Функция возрастает на

$$ [-2\pi-2\pi n;\,-\pi-2\pi n]\cup[0;+\infty),\quad n\in\mathbb Z, $$

убывает на

$$ [-\pi-2\pi n;\,-2\pi n],\quad n\in\mathbb Z. $$

Знаки функции:

$$ f(x)>0 \text{ при } x\in\left(-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;\,-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right)\cup(0;+\infty), $$

$$ f(x)<0 \text{ при } x\in\left(-\dfrac{5\pi}{2}-2\pi n;\,-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n\right)\cup\left(-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;0\right),\quad n\in\mathbb Z. $$

Функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.

Ответ

а) График состоит из части $y=3\sin x$ при $x<\dfrac{\pi}{2}$ и части $y=3x^3$ при $x\ge \dfrac{\pi}{2}$; $D(f)=(-\infty;+\infty)$, $E(f)=[-3;+\infty)$, функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.

б) График состоит из части $y=-2\cos x$ при $x<0$ и части $y=\dfrac12 x^4$ при $x\ge 0$; $D(f)=(-\infty;+\infty)$, $E(f)=[-2;+\infty)$, функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.