Упр.17.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному: а) на рис. 56; б) на рис. 57.

а) На луче $$(-\infty; 0]$$ изображена ветвь параболы. Запишем её в виде

$$y=a(x+b)^2+c.$$

Вершина параболы находится в точке $$ (0;0), $$ значит, $$b=0,\ c=0$$ и

$$y=ax^2.$$

График проходит через точку $$(-1;1)$$, поэтому

$$a(-1)^2=1 \Rightarrow a=1.$$

Следовательно, на $$(-\infty;0]$$ имеем

$$y=x^2.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ изображена дуга синусоиды. Пусть

$$y=a\sin(x+b)+c.$$

Центр симметрии находится в точке $$ (0;0), $$ значит, $$b=0,\ c=0$$ и

$$y=a\sin x.$$

Вершина дуги лежит в точке $$\left(\frac{\pi}{2};\frac12\right),$$ поэтому

$$a=\frac12.$$

Тогда на $$[0;\pi]$$

$$y=\frac12\sin x.$$

Итак,

$$y=\begin{cases} x^2, & x<0,\\ \frac12\sin x, & 0\le x\le \pi. \end{cases}$$

б) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ изображена дуга косинусоиды. Запишем её в виде

$$y=a\cos(x+b)+c.$$

Вершина находится в точке $$\left(0;\frac32\right),$$ значит, $$b=0,\ c=0,\ a=\frac32.$$

Следовательно,

$$y=\frac32\cos x.$$

На луче $$\left[\frac{\pi}{2};+\infty\right)$$ изображена прямая:

$$y=kx+b.$$

Она проходит через точку $$\left(\frac{\pi}{2};0\right),$$ поэтому

$$0=k\cdot\frac{\pi}{2}+b \Rightarrow b=-\frac{\pi}{2}k.$$

По графику прямая имеет наклон $$k=1,$$ значит

$$y=x-\frac{\pi}{2}.$$

Итак,

$$y=\begin{cases} \frac32\cos x, & -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2},\\ x-\frac{\pi}{2}, & x>\frac{\pi}{2}. \end{cases}$$

Ответ

а) $$y=\begin{cases} x^2, & x<0,\\ \frac12\sin x, & 0\le x\le \pi; \end{cases}$$

б) $$y=\begin{cases} \frac32\cos x, & -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2},\\ x-\frac{\pi}{2}, & x>\frac{\pi}{2}. \end{cases}$$