Упр.16.73(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Проверим, является ли каждая функция чётной или нечётной, подставляя вместо $$x$$ число $$-x$$ и используя свойства:
$$\sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(-x)=\cos x.$$
$$f_1(x)=2\sin x$$
$$f_1(-x)=2\sin(-x)=-2\sin x=-f_1(x),$$
значит, функция нечётная.
$$f_2(x)=\cos 2x$$
$$f_2(-x)=\cos(-2x)=\cos 2x=f_2(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_3(x)=x\sin x$$
$$f_3(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f_3(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_4(x)=\sin(x^2+1)$$
$$f_4(-x)=\sin(( -x)^2+1)=\sin(x^2+1)=f_4(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_5(x)=\sin 0{,}25x^3$$
$$f_5(-x)=\sin\bigl(0{,}25(-x)^3\bigr)=\sin(-0{,}25x^3)=-\sin 0{,}25x^3=-f_5(x),$$
значит, функция нечётная.
$$f_1(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$$
$$f_1(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-f_1(x),$$
значит, функция нечётная.
$$f_2(x)=\cos^3 x-\cos^3 x$$
Это тождественно равно $$0$$, значит, функция и чётная, и нечётная.
$$f_3(x)=-x\sin x$$
$$f_3(-x)=-(-x)\sin(-x)=x(-\sin x)=-x\sin x=f_3(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_4(x)=\sin(x^4)-1$$
$$f_4(-x)=\sin(( -x)^4)-1=\sin(x^4)-1=f_4(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_5(x)=-x+\sin 0{,}5x$$
$$f_5(-x)=x+\sin(-0{,}5x)=x-\sin 0{,}5x\neq f_5(x),\quad f_5(-x)\neq -f_5(x),$$
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f_1(x)=2-\frac{\cos x}{\sin x}$$
$$f_1(-x)=2-\frac{\cos(-x)}{\sin(-x)}=2+\frac{\cos x}{\sin x}\neq f_1(x),\quad f_1(-x)\neq -f_1(x),$$
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f_2(x)=-x+\cos 0{,}5x$$
$$f_2(-x)=x+\cos 0{,}5x\neq f_2(x),\quad f_2(-x)\neq -f_2(x),$$
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f_3(x)=x^3+x^2\sin x$$
$$f_3(-x)=(-x)^3+(-x)^2\sin(-x)=-x^3-x^2\sin x=-f_3(x),$$
значит, функция нечётная.
$$f_4(x)=\frac{\sin(x+2)}{2+\cos(2-x^2)}$$
При замене $$x\to -x$$ получаем
$$f_4(-x)=\frac{\sin(2-x)}{2+\cos(2-x^2)},$$
что не совпадает ни с $$f_4(x)$$, ни с $$-f_4(x)$$. Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f_5(x)=\frac{\sin x}{x}$$
$$f_5(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f_5(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_1(x)=\sqrt{3+\cos 3x}$$
$$f_1(-x)=\sqrt{3+\cos(-3x)}=\sqrt{3+\cos 3x}=f_1(x),$$
значит, функция чётная.
$$f_2(x)=2\cos\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0$$. При замене $$x\to -x$$ область не сохраняется, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f_3(x)=x\sqrt{1-\cos 2x}$$
$$f_3(-x)=(-x)\sqrt{1-\cos(-2x)}=-x\sqrt{1-\cos 2x}=-f_3(x),$$
значит, функция нечётная.
$$f_4(x)=\sin x+\cos x$$
$$f_4(-x)=\sin(-x)+\cos(-x)=-\sin x+\cos x,$$
это не равно ни $$f_4(x)$$, ни $$-f_4(x)$$, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f_5(x)=\sin x\cos x$$
$$f_5(-x)=\sin(-x)\cos(-x)=-\sin x\cos x=-f_5(x),$$
значит, функция нечётная.
Ответ
а) $$1$$ — нечётная, $$2$$ — чётная, $$3$$ — чётная, $$4$$ — чётная, $$5$$ — нечётная;
б) $$1$$ — нечётная, $$2$$ — и чётная, и нечётная, $$3$$ — чётная, $$4$$ — чётная, $$5$$ — ни чётная, ни нечётная;
в) $$1$$ — ни чётная, ни нечётная, $$2$$ — ни чётная, ни нечётная, $$3$$ — нечётная, $$4$$ — ни чётная, ни нечётная, $$5$$ — нечётная;
г) $$1$$ — чётная, $$2$$ — ни чётная, ни нечётная, $$3$$ — нечётная, $$4$$ — ни чётная, ни нечётная, $$5$$ — нечётная.
