Упр.16.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите все значения x, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это число: а) (5 — 2 sin x; 5 + 2 sin x); б) [4 + 2 cos x; 4 — 2 cos x].

а) Рассмотрим промежуток $$\left(5-2\sin x;\,5+2\sin x\right).$$

Чтобы в нём содержалось ровно одно целое число, это число должно быть $$5,$$ а длина промежутка — больше $$0$$ и не больше $$2.$$ Тогда

$$0<(5+2\sin x)-(5-2\sin x)\le 2,$$

$$0<4\sin x\le 2,$$

$$0<\sin x\le \frac12.$$

Отсюда

$$x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Целое число в промежутке — $$5.$$

б) Рассмотрим промежуток $$\left[4+2\cos x;\,4-2\cos x\right].$$

Чтобы в нём содержалось ровно одно целое число, это число должно быть $$4,$$ а длина промежутка — больше $$0$$ и меньше $$2.$$ Тогда

$$0<(4-2\cos x)-(4+2\cos x)<2,$$

$$0<-4\cos x<2,$$

$$-\frac12<\cos x<0.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Целое число в промежутке — $$4.$$

Ответ

а) $$5,$$ $$2\pi n<x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n$$ или $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

б) $$4,$$ $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ или $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$