Упр.16.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) $$y=\frac{1}{\sin x}$$

1) Функция нечётная, так как

$$y(-x)=\frac{1}{\sin(-x)}=-\frac{1}{\sin x}=-y(x).$$

2) Область определения:

$$\sin x\ne 0,\qquad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) На отрезке $$0<x\le \frac{\pi}{2}$$ имеем $$0<\sin x\le 1,$$ значит

$$1\le \frac{1}{\sin x}<+\\infty.$$

4) На отрезке $$\frac{\pi}{2}\le x<\pi$$ имеем $$1\ge \sin x>0,$$ поэтому

$$1\le \frac{1}{\sin x}<+\\infty,$$

при этом на каждом из указанных промежутков функция $$y=\sin x$$ убывает, а функция $$y=\frac{1}{\sin x}$$ возрастает там, где $$\sin x$$ убывает, и убывает там, где $$\sin x$$ возрастает.

5) График функции состоит из повторяющихся ветвей с вертикальными асимптотами $$x=\pi n$$.

б) $$y=\frac{1}{\cos x}$$

1) Функция чётная, так как

$$y(-x)=\frac{1}{\cos(-x)}=\frac{1}{\cos x}=y(x).$$

2) Область определения:

$$\cos x\ne 0,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) На отрезке $$0\le x<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$0<\cos x\le 1,$$ значит

$$1\le \frac{1}{\cos x}<+\\infty.$$

4) На отрезке $$\frac{\pi}{2}<x\le \pi$$ имеем $$-1\le \cos x<0,$$ поэтому

$$-\infty<\frac{1}{\cos x}\le -1.$$

5) На данных отрезках функция $$y=\cos x$$ убывает, а функция $$y=\frac{1}{\cos x}$$ соответственно возрастает на тех промежутках, где $$\cos x>0,$$ и убывает там, где $$\cos x<0.$$

6) График функции состоит из ветвей с вертикальными асимптотами $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$