Упр.16.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right), & -\frac{3\pi}{2}\le x\le 0,\\ x+1, & 0<x<2,\\ -\sqrt{x-2}+3, & x\ge 2. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции.

$$ f(0)=\sin\left(0+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1. $$

$$ f(6)=-\sqrt{6-2}+3=-\sqrt{4}+3=-2+3=1. $$

$$ f(-\pi-2)\text{ — не существует,} $$

так как $$-\pi-2<-\frac{3\pi}{2}$$ и это значение не принадлежит области определения функции.

б) Построим график по частям.

1) На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};0\right]$$ график задаёт функция

$$ y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right). $$

Опорные точки:

$$ \left(-\frac{3\pi}{2},0\right),\quad (-\pi,-1),\quad \left(-\frac{\pi}{2},0\right),\quad (0,1). $$

2) На промежутке $$0<x<2$$ график задаёт прямая

$$ y=x+1. $$

Опорные точки:

$$ (0,1),\quad (2,3). $$

3) При $$x\ge 2$$ график задаёт функция

$$ y=-\sqrt{x-2}+3. $$

Опорные точки:

$$ (2,3),\quad (3,2),\quad (6,1). $$

в) Свойства функции.

$$ D(f)=\left[-\frac{3\pi}{2};+\infty\right), \qquad E(f)=(-\infty;3]. $$

Функция возрастает на $$[-\pi;2]$$, убывает на $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\pi\right]\cup[2;+\infty).$$

$$ f(x)>0 \text{ на } \left(-\frac{\pi}{2};11\right), $$

$$ f(x)<0 \text{ на } \left(-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right)\cup(11;+\infty). $$

Функция не является ни чётной, ни нечётной и не является периодической.

Ответ

$$ f(0)=1,\quad f(6)=1,\quad f(-\pi-2)\text{ не существует}; $$
$$ D(f)=\left[-\frac{3\pi}{2};+\infty\right),\quad E(f)=(-\infty;3]. $$