Упр.16.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -x^2, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi,\\ -(x-\pi)^2, & x>\pi. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции.

$$ f(-3)=-(-3)^2=-9, $$
$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1, $$
$$ f(2\pi-3)=-(2\pi-3-\pi)^2=-(\pi-3)^2. $$

б) Построим график.

График состоит из трёх частей:

• при $$x<0$$ — ветвь параболы $$y=-x^2$$;
• при $$0\le x\le \pi$$ — график $$y=\sin x$$;
• при $$x>\pi$$ — ветвь параболы $$y=-(x-\pi)^2$$.

Опорные точки:

$$ (-2,-4),\;(-1,-1),\;(0,0),\;\left(\frac{\pi}{2},1\right),\;(\pi,0),\;(\pi+1,-1). $$

в) Свойства функции.

• Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
• Множество значений: $$E(f)=(-\infty;1].$$
• Функция возрастает на $$(-\infty;\frac{\pi}{2}].$$
• Функция убывает на $$[\frac{\pi}{2};+\infty).$$
• $$f(x)=0$$ при $$x=0$$ и $$x=\pi$$.
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)\cup(\pi;+\infty).$$
• Функция не является ни чётной, ни нечётной.
• Функция не является периодической.

Ответ

$$ f(-3)=-9,\quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad f(2\pi-3)=-(\pi-3)^2. $$

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;1].$$

Возрастает на $$(-\infty;\frac{\pi}{2}]$$, убывает на $$[\frac{\pi}{2};+\infty).$$

Нули функции: $$x=0$$ и $$x=\pi.$$

Функция ни чётная, ни нечётная, непериодическая.