Упр.16.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} 2x-\pi, & x<\dfrac{\pi}{2},\\ \cos x, & \dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{3\pi}{2},\\ \dfrac{3\pi}{2}-x, & x>\dfrac{3\pi}{2}. \end{cases} $$

Построим графики трёх частей:

$$y=2x-\pi$$ — прямая, проходящая через точки $$\left(0,-\pi\right)$$ и $$\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$$;
$$y=\cos x$$ на отрезке $$\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]$$ проходит через точки $$\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$$, $$\left(\pi,-1\right)$$, $$\left(\dfrac{3\pi}{2},0\right)$$;
$$y=\dfrac{3\pi}{2}-x$$ — прямая, проходящая через точки $$\left(\dfrac{3\pi}{2},0\right)$$ и $$\left(2\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right)$$.

График функции состоит из этих трёх частей, соединённых в точках $$x=\dfrac{\pi}{2}$$ и $$x=\dfrac{3\pi}{2}$$.

Свойства функции:

$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
$$E(f)=(-\infty;0]$$;
функция возрастает на $$(-\infty;\dfrac{\pi}{2}] \cup [\pi;\dfrac{3\pi}{2}]$$;
убывает на $$[\dfrac{\pi}{2};\pi] \cup [\dfrac{3\pi}{2};+\infty)$$;
$$f(x)<0$$ на $$(-\infty;\dfrac{\pi}{2}) \cup (\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}) \cup (\dfrac{3\pi}{2};+\infty)$$;
функция ни чётная, ни нечётная;
функция не является периодической.

б) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} \sin x, & x\le 0,\\ x^2, & 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\ \cos x, & x\ge \dfrac{\pi}{2}. \end{cases} $$

Построим графики трёх частей:

$$y=\sin x$$ при $$x\le 0$$;
$$y=x^2$$ при $$0<x<\dfrac{\pi}{2}$$; здесь $$y(0)=0$$, а при $$x=1$$ получаем $$y=1$$;
$$y=\cos x$$ при $$x\ge \dfrac{\pi}{2}$$; при $$x=\dfrac{\pi}{2}$$ имеем $$y=0$$.

График состоит из левой ветви синуса, участка параболы и правой ветви косинуса.

Свойства функции:

$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
$$E(f)=\left[-1;\dfrac{\pi^2}{4}\right)$$;
функция возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup[\pi+2\pi n;2\pi+2\pi n]$$;
убывает на $$\left[-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\cup[2\pi+2\pi n;3\pi+2\pi n]$$;
$$f(x)>0$$ на $$(-2\pi-2\pi n;-\pi-2\pi n)\cup(0;\dfrac{\pi}{2})\cup(\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n;\dfrac{5\pi}{2}+2\pi n)$$;
$$f(x)<0$$ на $$(-\pi-2\pi n;-2\pi n)\cup(\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n)$$;
функция ни чётная, ни нечётная;
функция не является периодической.