Упр.16.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Дана функция

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-2)=\frac{1}{-2}=-\frac12=-0{,}5, $$

$$ f(0)=\sin 0=0, $$

$$ f(1)=\sin 1. $$

б) График функции состоит из двух частей:

• при $$x<0$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{1}{x}$$;
• при $$0\le x\le \pi$$ — участок синусоиды $$y=\sin x$$ от $$0$$ до $$\pi$$.

Для построения можно отметить характерные точки:

$$ \sin x:\ (0,0),\ \left(\frac{\pi}{2},1\right),\ (\pi,0) $$

$$ \frac{1}{x}:\ (-2,-0{,}5),\ (-1,-1),\ \left(-\frac12,-2\right) $$

в) Найдём свойства функции.

Область определения:

$$ D(f)=(-\infty;0)\cup[0;\pi]=(-\infty;\pi]. $$

Множество значений:

для $$x<0$$ имеем $$\dfrac{1}{x}<0$$, причём значения не ограничены снизу; на отрезке $$[0;\pi]$$ функция $$\sin x$$ принимает значения от $$0$$ до $$1$$. Поэтому

$$ E(f)=(-\infty;1]. $$

Промежутки монотонности:

• $$y=\dfrac{1}{x}$$ убывает на $$(-\infty;0)$$;
• $$y=\sin x$$ возрастает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$.

Знак функции:

• $$f(x)<0$$ при $$x<0$$;
• $$f(x)>0$$ при $$0<x<\pi$$;
• $$f(x)=0$$ при $$x=0$$ и $$x=\pi$$.

Функция не является ни чётной, ни нечётной и не является периодической.

Ответ

$$ f(-2)=-0{,}5,\quad f(0)=0,\quad f(1)=\sin 1; $$

$$ D(f)=(-\infty;\pi],\quad E(f)=(-\infty;1]. $$

Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$, возрастает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$, не является чётной, нечётной и периодической.