Упр.16.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что функция у = cos x: а) возрастает на отрезке [-3; -0,5]; б) убывает на интервале (7; 9); в) достигает на интервале (3; 7) наименьшего и наибольшего значений; г) не достигает на интервале (-3; -0,5) ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Функция $$y=\cos x$$ на отрезке $$[-\pi;0]$$ возрастает, а на отрезке $$[0;\pi]$$ убывает.
$$-\pi<-3<-0{,}5<0,$$ значит, $$[-3;-0{,}5]\subset[-\pi;0].$$
Следовательно, на отрезке $$[-3;-0{,}5]$$ функция $$y=\cos x$$ возрастает.
$$2\pi<7<9<3\pi,$$ поэтому
$$ (7;9)\subset(2\pi;3\pi). $$
С учётом периодичности косинуса получаем, что на интервале $$ (2\pi;3\pi) $$ функция убывает, значит, убывает и на $$ (7;9). $$
$$3<\pi<2\pi<7.$$
На интервале $$ (3;7) $$ лежат точки $$x=\pi$$ и $$x=2\pi$$, причём
$$\cos \pi=-1,\qquad \cos 2\pi=1.$$
Так как для функции $$y=\cos x$$ наибольшее значение равно $$1,$$ а наименьшее равно $$-1,$$ то на интервале $$ (3;7) $$ она достигает и наименьшего, и наибольшего значений.
$$-\pi<-3<-0{,}5<0,$$ значит, $$(-3;-0{,}5)\subset(-\pi;0).$$
На этом промежутке функция $$y=\cos x$$ возрастает, но интервал открыт, поэтому точки, в которых достигаются наименьшее и наибольшее значения, в него не входят. Следовательно, на $$(-3;-0{,}5)$$ функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Ответ
а) возрастает на $$[-3;-0{,}5]$$; б) убывает на $$ (7;9) $$; в) на $$ (3;7) $$ достигает наименьшего значения $$-1$$ и наибольшего значения $$1$$; г) на $$(-3;-0{,}5)$$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.
