Упр.16.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Рассмотрим функцию $$y=-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5.$$

Так как $$-1\le \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-1\le -\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$

$$0{,}5\le -\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5\le 2{,}5.$$

а) На промежутке $$\left[\frac{\pi}{6};\pi\right]$$ значения функции достигаются в концах промежутка и в точке, где косинус принимает значение $$1$$.

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5=-\cos\frac{\pi}{2}+1{,}5=1{,}5,$$

$$y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5=-\cos\pi+1{,}5=2{,}5,$$

$$y(\pi)=-\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5=-\cos\frac{4\pi}{3}+1{,}5=2.$$

Следовательно, $$y_{\min}=1{,}5,$$ $$y_{\max}=2{,}5.$$

б) На промежутке $$\left(1;9\right)$$ длина отрезка равна $$8>2\pi,$$ значит, на нём содержится полный период функции. Поэтому

$$-1\le \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$

$$0{,}5\le -\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5\le 2{,}5.$$

Значит, $$y_{\min}=0{,}5,$$ $$y_{\max}=2{,}5.$$

в) На промежутке $$[231;238]$$ длина отрезка равна $$7>2\pi,$$ поэтому он также содержит полный период функции. Тогда

$$y_{\min}=0{,}5,\qquad y_{\max}=2{,}5.$$

г) На промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция возрастает, так как

$$x+\frac{\pi}{3}\in \left[\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{6}\right),$$

а на этом промежутке $$-\cos t$$ возрастает.

Тогда минимум достигается при $$x=0$$:

$$y(0)=-\cos\frac{\pi}{3}+1{,}5=-\frac12+1{,}5=1.$$

При $$x\to \frac{\pi}{2}-0$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\cos\frac{5\pi}{6}+1{,}5=\frac{\sqrt3}{2}+1{,}5,$$

но точка $$\frac{\pi}{2}$$ не входит в промежуток, поэтому наибольшее значение не достигается.

Ответ

а) $$y_{\min}=1{,}5,\ y_{\max}=2{,}5$$; б) $$y_{\min}=0{,}5,\ y_{\max}=2{,}5$$; в) $$y_{\min}=0{,}5,\ y_{\max}=2{,}5$$; г) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}$$ не существует.