Упр.16.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$y=\sin^2 x-6\sin x+8$$
Положим $$t=\sin x$$. Тогда $$-1\le t\le 1$$ и
$$y=t^2-6t+8=(t-3)^2-1.$$
Вершина параболы соответствует $$t=3$$, но это значение не принадлежит отрезку $$[-1;1]$$. На этом отрезке функция убывает, поэтому
$$y(-1)=(-1)^2-6(-1)+8=15,$$
$$y(1)=1^2-6\cdot 1+8=3.$$
Следовательно, $$E(y)=[3;15].$$
б) $$y=\sqrt{2-\cos x}$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$1\le 2-\cos x\le 3.$$
Берём корень из всех частей неравенства:
$$1\le \sqrt{2-\cos x}\le \sqrt{3}.$$
Значит, $$E(y)=[1;\sqrt{3}].$$
в) $$y=\cos^2 x+\cos x+2$$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда $$-1\le t\le 1$$ и
$$y=t^2+t+2=\left(t+\frac12\right)^2+\frac74.$$
Минимум достигается при $$t=-\frac12$$, и он принадлежит отрезку $$[-1;1]$$:
$$y_{\min}=\frac74.$$
Максимум на концах отрезка:
$$y(-1)=(-1)^2-1+2=2,$$
$$y(1)=1^2+1+2=4.$$
Следовательно, $$E(y)=\left[\frac74;4\right].$$
г) $$y=\sqrt{8\sin x-4}$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$-8\le 8\sin x\le 8,$$
$$-12\le 8\sin x-4\le 4.$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит
$$0\le 8\sin x-4\le 4.$$
Тогда
$$0\le \sqrt{8\sin x-4}\le 2.$$
Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$
Ответ
а) $$[3;15]$$; б) $$[1;\sqrt{3}]$$; в) $$\left[\frac74;4\right]$$; г) $$[0;2]$$.
