Упр.16.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений функции: а) у = 2 sin x; в) у = -3 cos x + 2; б) y= (3 cos x — 2 4; г) у- (1 + 4 sin x 2.

1. $$y=2\sin x$$

   Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

   $$-2 \le 2\sin x \le 2.$$

   Следовательно, $$E(y)=[-2;2].$$

2. $$y=(3\cos x-2)^4$$

   Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

   $$-3 \le 3\cos x \le 3,$$

   $$-5 \le 3\cos x-2 \le 1.$$

   Четвёртая степень неотрицательна, поэтому

   $$0 \le (3\cos x-2)^4 \le 5^4=625.$$

   Следовательно, $$E(y)=[0;625].$$

3. $$y=-3\cos x+2$$

   Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

   $$-3 \le -3\cos x \le 3,$$

   $$-1 \le -3\cos x+2 \le 5.$$

   Следовательно, $$E(y)=[-1;5].$$

4. $$y=(1+4\sin x)^2$$

   Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

   $$-4 \le 4\sin x \le 4,$$

   $$-3 \le 1+4\sin x \le 5.$$

   Квадрат неотрицателен, поэтому

   $$0 \le (1+4\sin x)^2 \le 5^2=25.$$

   Следовательно, $$E(y)=[0;25].$$

Ответ

а) $$[-2;2]$$; б) $$[0;625]$$; в) $$[-1;5]$$; г) $$[0;25]$$.