Упр.16.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) sin (t + 2Пи) + sin (t — 4Пи) = 1; б) 3 cos (2Пи + t) + cos (t — 2Пи) + 2 = 0; в) sin (t + 4Пи) + sin (t — 6Пи) = корень из из 3; г) cos (t + 2Пи) + cos (t — 8Пи) = корень из из 2.

1. $$\sin(t+2\pi)+\sin(t-4\pi)=1$$

   Так как $$\sin(t+2\pi)=\sin t$$ и $$\sin(t-4\pi)=\sin t$$, получаем:

   $$2\sin t=1,$$

   $$\sin t=\frac12.$$

   Тогда

   $$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$3\cos(2\pi+t)+\cos(t-2\pi)+2=0$$

   Используем периодичность косинуса:

   $$3\cos t+\cos t+2=0,$$

   $$4\cos t=-2,$$

   $$\cos t=-\frac12.$$

   Следовательно,

   $$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin(t+4\pi)+\sin(t-6\pi)=\sqrt3$$

   Так как $$\sin(t+4\pi)=\sin t$$ и $$\sin(t-6\pi)=\sin t$$, имеем:

   $$2\sin t=\sqrt3,$$

   $$\sin t=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos(t+2\pi)+\cos(t-8\pi)=\sqrt2$$

   По периодичности косинуса:

   $$2\cos t=\sqrt2,$$

   $$\cos t=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{7\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$