Упр.16.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: а) sin2 (x — 8Пи) = 1 — cos2 (16Пи — x); б) cos2 (4Пи + x) = 1 — sin2 (22Пи — x).

Подробный ответ

а) Преобразуем аргументы, используя периодичность тригонометрических функций:

$$ \sin^2(x-8\pi)=\sin^2 x, $$
так как $$8\pi=4\cdot 2\pi.$$

$$ 1-\cos^2(16\pi-x)=1-\cos^2(-x)=1-\cos^2 x, $$
так как $$16\pi=8\cdot 2\pi,$$ а косинус — чётная функция.

Тогда левая и правая части равны:

$$ \sin^2 x=1-\cos^2 x. $$
По основному тригонометрическому тождеству

$$ \sin^2 x+\cos^2 x=1, $$
следовательно, тождество доказано.

б) Аналогично:

$$ \cos^2(4\pi+x)=\cos^2 x, $$
так как $$4\pi=2\cdot 2\pi.$$

$$ 1-\sin^2(22\pi-x)=1-\sin^2(-x)=1-(-\sin x)^2=1-\sin^2 x, $$
так как $$22\pi=11\cdot 2\pi,$$ а синус — нечётная функция.

Получаем:

$$ \cos^2 x=1-\sin^2 x. $$
По основному тригонометрическому тождеству