Упр.16.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений заданной функции на заданном промежутке:

1. а) $$y=\sin x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{3};\frac{7\pi}{3}\right]$$

   Длина промежутка:

   $$\frac{7\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=2\pi.$$

   На промежутке длины $$2\pi$$ содержится полный период функции $$y=\sin x$$, поэтому

   $$-1\le \sin x\le 1.$$

   Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$

2. б) $$y=\cos x,\quad x\in(1;+\infty)$$

   Промежуток $$ (1;+\infty) $$ не ограничен, значит, на нём содержится бесконечно много периодов функции $$y=\cos x$$. Поэтому функция принимает все свои значения:

   $$-1\le \cos x\le 1.$$

   Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$

3. в) $$y=\sin x,\quad x\in(-1;6)$$

   Длина промежутка:

   $$6-(-1)=7>2\pi.$$

   Значит, на этом промежутке содержится полный период функции $$y=\sin x$$, поэтому

   $$-1\le \sin x\le 1.$$

   Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$

4. г) $$y=\cos x,\quad x\in[1{,}2;7{,}5]$$

   Длина промежутка:

   $$7{,}5-1{,}2=6{,}3>2\pi.$$

   На промежутке содержится полный период функции $$y=\cos x$$, значит,

   $$-1\le \cos x\le 1.$$

   Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$

Ответ

а) $$[-1;1]$$; б) $$[-1;1]$$; в) $$[-1;1]$$; г) $$[-1;1]$$.