Упр.16.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = cos x:

1. а) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\cos x$$ убывает, значит наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

   $$y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}.$$

2. б) На интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{4}\right)$$ функция сначала возрастает на $$(-\pi;0]$$, затем убывает на $$[0;\frac{\pi}{4})$$. Поэтому наибольшее значение достигается при $$x=0$$:

   $$y(0)=\cos 0=1.$$

   Наименьшее значение на открытом интервале не достигается, так как точка $$x=-\pi$$ не входит в промежуток, а $$\cos(-\pi)=-1$$.

3. в) На луче $$\left[-\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ функция $$y=\cos x$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1$$, так как в промежуток входит полный период функции.

   Следовательно,

   $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

4. г) На полуинтервале $$\left[-\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$ в промежуток входят точки $$x=0$$ и $$x=\pi$$:

   $$y(0)=\cos 0=1,$$

   $$y(\pi)=\cos \pi=-1.$$

   Значит,

   $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-\frac{1}{2},\; y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

б) $$y_{\max}=1,$$ наименьшее значение не существует.

в) $$y_{\min}=-1,\; y_{\max}=1.$$

г) $$y_{\min}=-1,\; y_{\max}=1.$$